Question

1．（1）问题背景  Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，CD，如图1，求证：AE=CD，AE⊥CD．

（2）类比探索：若将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“AB=kBC，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？若成立，请给与证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判定△ABE≌△CBD，再根据全等三角形对应边相等，对应角相等得出结论；
（2）先判定△ABE≌△CBD，再根据全等三角形对应边相等，对应角相等即可得出结论；
（3）先判定△AEB∽△CDB，再根据相似三角形对应边成比例，对应角相等进行推导，即可得出结论．

解答 解：（1）在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{EB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，且∠AEB=∠CDB，
∵∠CDB+∠BCD=90°，
∴∠AEB+∠BCD=90°，
∴∠CKE=90°，即AE⊥CD．

（2）AE=CD，AE⊥CD．
证明：∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠ABD=∠ABC+∠ABD，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{EB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，且∠BAE=∠BCD，
∵∠BCD+∠BOC=90°，∠BOC=∠AOK，
∴∠AOK+∠BAE=90°，
∴∠AKO=90°，即AE⊥CD．

（3）AE=$\frac{1}{k}$CD，AE⊥CD．
证明：∵AB=kBC，DB=kEB，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BD}=\frac{1}{k}$，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠ABD=∠ABC+∠ABD，
即∠ABE=∠CBD，
∴△AEB∽△CDB，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{k}$，且∠EAB=∠DCB，
∴AE=$\frac{1}{k}$CD，
∵∠BCD+∠BOC=90°，∠BOC=∠AOK，
∴∠AOK+∠BAE=90°，
∴∠AKO=90°，即AE⊥CD．

点评 本题以旋转为背景，主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．寻找相似三角形的一般方法是依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．