Question

2．如图，AB是半圆圆O的直径，C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，CH⊥BM，垂足为H．求证：CH²=AH•OH．

Answer 1

分析 连接OC、BC，可得∠BOC=∠BHC=90°，可得点O、B、C、H四点共圆，继而根据圆周角定理得出∠OHB=∠OCB=45°，然后证明△AMH∽△BMA，根据相似得出角相等，进而证得△AMH∽△BOH，最后根据相似三角形的性质证得结果．

解答 解：连接OC、BC，
∵C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，
∴∠BOC=∠BHC=90°，
则点O、B、C、H四点共圆，
∴∠OHB=∠OCB=45°，
∵∠BCM=90°，CH⊥BM，M为AC的中点，
∴AM²=CM²=MH•MB，
即$\frac{HM}{AM}$=$\frac{AM}{BM}$，
∴△AMH∽△BMA，
则∠MAH=∠MBA，∠AHN=∠BAM=45°，
∴∠AHM=∠BHO，
∴△AMH∽△BOH，
∴$\frac{AH}{BH}$=$\frac{MH}{OH}$，
则AH•OH=MH•BH，
∵CH²=MH•HB，
∴CH²=AH•OH．

点评 本题考查了四点共圆的知识，涉及了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及射影定理等知识的运用，解答本题的关键是根据∠BOC=∠BHC=90°得出四点共圆，本题涉及知识点较多，比较复杂，难度适中．