Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM；连接BE，并延长交AM于点G；
②过点A作BC的垂线，垂足为F．
（2）猜想与证明：猜想AG与BF有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作一个角的平分线和过一点作直线的垂线）求解；
（2）先利用等腰三角形的性质得∠ABC=∠C，再利用三角形外角性质和角平分线定义可得∠GAC=∠C，则可判断AG∥BF；接着根据“ASA”证明△AEG≌△CEB得到AG=CB，然后根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AF⊥BC得到BF=CF，所以AG=2BF．

解答 解：（1）如图；
（2）AG∥BF，AG=2BF．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，
∵AM平分∠ABC，
∴∠DAC=2∠GAC，
∴∠GAC=∠C
∴AG∥BC，即AG∥BF；
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△AEG和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAE=∠C}\\{AE=CE}\\{∠AEG=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CEB，
∴AG=CB，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∴BC=2BF，
∴AG=2BF．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．