Question

15．如图，AB是⊙O直径，Rt△ACD的直角边CD与⊙O相切，切点为C，直角边AD与⊙O相交于点E，∠BAC=22.5°，
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）求$\frac{CD}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据平行线和等腰三角形的性质得到结论；
（2）连接BE交OC于F，由垂径定理得到EF=$\frac{1}{2}$BE，由AB是⊙O直径，得到∠FED=90°，证得四边形DEFC是矩形，得到CD=EF=$\frac{1}{2}$BE，根据等腰直角三角形的性质化简得到结果．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC
∴∠2=∠3，
∵AO=OD，
∴∠1∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠BAD；

（2）解：如图2，连接BE交OC于F，
∵∠1=∠2，
∴$\widehat{CE}=\widehat{BC}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE，
∵AB是⊙O直径，
∴∠FED=90°，
∴∠D=∠FED=∠FCD=90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴CD=EF=$\frac{1}{2}$BE，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠EAB=45°，
∴AE=BE，
∴CD=$\frac{1}{2}$AE，
∴$\frac{CD}{AE}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．