Question

20．在Rt△ABC中，∠ABD=90°，AE=BD，AB=CD，连接CE、AD两线交于P，则∠CPD=45°．

Answer 1

分析 如图，作CM⊥BC，且CM=AE，即可得出CM=BD，证得四边形AMCE是平行四边形，即可证得AM∥CE，通过SAS证得△CDM≌△BAD（SAS），根据三角形全等的性质得出MD=AD，∠MDC=∠DAB，进而求得△ADM是等腰直角三角形，得出∠MAD=45°，根据平行线的性质即可证得∠CPD=∠MAD=45°．

解答 解：如图，作CM⊥BC，且CM=AE，
∵AE=BD，
∴CM=BD，
∵∠ADB=90°，
∴AE∥CM，
∴四边形AMCE是平行四边形，
∴AM∥CE，
在△CDM和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=BD}\\{∠MCD=∠ABD=90°}\\{CD=AB}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△BAD（SAS），
∴MD=AD，∠MDC=∠DAB，
∵∠ADB+∠DAB=90°，
∴∠MDC+∠ADB=90°，
∴∠ADM=90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴∠MAD=45°，
∴∠CPD=∠MAD=45°．
故答案为45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，找出辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．