Question

5．已知在∠MON中，A，B分别为ON，OM上一点．
（1）如图，若CD⊥OB于D，OC平分∠MON，OA+OB=2OD，求证：∠MON+∠ACB=180°；
（2）若CD⊥OB于D，OC平分∠MON，∠MON+∠ACB=180°，求证：OA+OB=2OD．

Answer 1

分析 （1）首先证明△OCD≌△OCH得到OD=OH，再根据OA+OB=2OD可以证明BD=CH，即可证明△CDB≌△CHA得∠BCD=∠ACH，这样∠BCA=∠DCH，因为∠DCH+∠MON=180，°故问题得到证明．
（2）由∠MON+∠DCH=180°，∠MON+∠BCA=180°得到∠BCA=∠DCH，故∠BCD=∠ACH，再利用全等三角形证明即可．

解答 解：（1）作CH⊥OA垂足为H，
∵OC平分∠MON，CD⊥OM，CH⊥OA，
∴CD=CH，
在RT△OCD和RT△OCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CH}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OCH，
∴OD=OH，
∵OA+OB=2OD，
∴OH+AH+OD-BD=20D，
∴BD=AH，
在△CDB和△CHA中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CH}\\{∠CDB=∠CHA=90°}\\{BD=AH}\end{array}\right.$，
∴△CDB≌△CHA，
∴∠BCD=∠ACH，
∴∠DCH=∠BCA，
在四边形OHCD中，∵∠MON+∠DCH+∠ODC+∠CHO=360°，∠CDO=∠CHO=90°，
∴∠MON+∠DCH=180°，
∴∠MON+∠BCA=180°．
（2）作CH⊥OA垂足为H，
∵OC平分∠MON，CD⊥OM，CH⊥OA，
∴CD=CH，
在RT△OCD和RT△OCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CH}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OCH，
∴OD=OH，
在四边形OHCD中，∵∠MON+∠DCH+∠ODC+∠CHO=360°，∠CDO=∠CHO=90°，
∴∠MON+∠DCH=180°，
∵∠MON+∠BCA=180°，
∴∠BCA=∠DCH，
∴∠BCD=∠ACH，
在△CDB和△CHA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠ACH}\\{CD=CH}\\{∠CDB=∠CHA}\end{array}\right.$，
∴△CDB≌△CHA，
∴BD=AH，
∴OB+OA=OD-BD+OH+AH=2OD．

点评 本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等角的补角相等等知识，利用角平分线添加辅助线是常用的手段．