Question

12．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，A、C、D在同一直线上，连接AE，BD．交点为F，连接CF，求证：CF平分∠AFD．

Answer 1

分析 作CM⊥AE、CN⊥BD，由△ABC和△CDE都是等边三角形知AC=BC、CD=CE、∠ACB=∠BCD，得△ACE≌△BCD，由全等三角形性质知CM=CN，即可得证．

解答 证明：作CM⊥AE，垂足为点M，作CN⊥BD，垂足为点N，

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，CD=CE，
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，即∠ACB=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴CM=CN，
故点C在∠AFD的角平分线上，即CF平分∠AFD．

点评 本题主要考查全等三角形判定和性质及角平分线的性质，作对应边的高通过证明全等得出相等，为角平分线性质创造条件是关键．