Question

8．如图是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（0，3）和（0，4）之间．则下列结论：①a+b+c＞0；②3a+b=0；③b²=4a（c-n）； ④一元二次方程ax²+bx+c=n-1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由定点坐标为（1，n），即可得出a+b+c＞0，结论①正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，可得出2a+b=0，结论②错误；由抛物线的对称轴及定点坐标，即可得出a+b+c=n、2a+b=0，进而即可得出b²=4ac-4an=4a（c-n），结论③正确；根据抛物线顶点的纵坐标为n，即可得出直线y=n-1与抛物线有两个交点，进而可得出一元二次方程ax²+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结论④正确．综上即可得出结论．

解答 解：当x=1时，
由图象可知：y=a+b+c＞0，结论①正确；
抛物线对称轴为直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，结论②错误；
∵x=1时，y=n，
∴a+b+c=n．
∵2a+b=0，
∴a-2a+c=n，
∴c-a=n，
∴b²-4ac=4a²-4ac=4a（a-c）=-4an，
∴b²=4ac-4an=4a（c-n），结论③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴直线y=n与抛物线只有一个交点．
∵n-1＜n，
∴直线y=n-1与抛物线有两个交点，
即一元二次方程ax²+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结论④正确．
综上所述：正确的结论有①③④．
故选C．

点评 本题考查二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．