Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，tan∠ABC＝，BD为对角线，∠ABD+∠BDC＝90°，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，若AE＝DE，EC＝DC＝5，则△ABC的面积为_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

延长CE交AB于点H，延长DC、AE相交于点K，根据垂直的定义可得∠AEB＝∠AED＝90°，又∠ABD+∠BDC＝90°，设∠ABD＝α，用α的代数式分别表示出∠BDC、∠BAE、∠CED、∠CDE、∠AEH，由sinK＝sin∠ABD求出AB的值，设CH＝7a，BH＝6a，分别用a的代数式表示出HE、AH，再根据tan∠AEH＝tan∠ABE可得EH2＝AHBH，据此得出a的值，进而得出CH的值，再根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积．

如图，延长CE交AB于点H，延长DC、AE相交于点K，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB＝∠AED＝90°，

∵∠ABD+∠BDC＝90°，

设∠ABD＝α，则∠BDC＝90°﹣α，

∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣α，

∵EC＝DC，

∴∠CED＝∠CDE＝90°﹣α，

∵∠AEH＝∠KEC＝∠DEK﹣∠CED＝α，

∴∠BHE＝∠BAE +∠AEH =90°，

∵∠K+∠KDE＝90°，∠CED+∠CEK＝90°，∠KDE=∠CED，

∴∠K=∠CEK＝α，

∴CK=CE=CD=5，即：DK=10，

∴sinK＝sin∠ABD，即，

∴，

解得：，

∵，tan∠ABC＝，

∴设CH＝7a，BH＝6a，

∴HE＝HC﹣CE＝7a﹣5，AH＝AB﹣BH＝，

∵∠AEH＝∠ABE=α，

∴tan∠AEH＝tan∠ABE，

∴EH2＝AHBH，即(7a﹣5)2=()6a

解得：（舍去），

∴CH＝7a＝7，

∴．

故答案为：．