Question

6．如图，将正方形ABCO绕点A顺时针旋转一定角度，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）若正方形ABCO的边长为3+$\sqrt{3}$，∠1=∠2，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG；
（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系；
（3）根据全等三角形的性质得到∠AGO=∠AGD，根据余角的性质得到∠AGO=∠AGD=∠PGC，求得∠1=∠2=30°，解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，
在Rt△AOG和Rt△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AD}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△ADG（HL）；

（2）解：PG=OG+BP．
由（1）同理可证△ADP≌△ABP，
则∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，
又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，
故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，
∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，
∴DG=OG，DP=BP，
∴PG=DG+DP=OG+BP；

（3）∵△AOG≌△ADG，
∴∠AGO=∠AGD，
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，
∴∠1=∠2=30°，
在Rt△AOG中，AO=3+$\sqrt{3}$，
∴OG=AOtan30°=$\sqrt{3}$+1，
∴AG=2$\sqrt{3}$+2，
在Rt△AOG中，CG=2，PG=4，
作PH⊥AG于H，
在Rt△PHG中，HG=2，
∴PH=2$\sqrt{3}$，
在Rt△APH中，AH=2，
∴AP=$\sqrt{2}$PH=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．