Question

15．如果方程x²+px+q=0有两个实数根x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x²+15x+5=0的二根，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$=43
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}\\ y={y_1}\end{array}$和$\left\{\begin{array}{l}x={x_2}\\ y={y_2}\end{array}$是关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-y+k=0\\ x-y=1\end{array}$的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y₁y₂-$\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}$=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据a，b是x²+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值．
（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=$\frac{16}{c}$，a、b是方程x²+cx+$\frac{16}{c}$=0的解，再根据c²-4•$\frac{16}{c}$≥0，即可求出c的最小值．
（3）运用根与系数的关系求出x₁+x₂=1，x₁•x₂=k+1，再解y₁y₂-$\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}$=2，即可求出k的值．

解答 解：（1）∵a、b是方程x²+15x+5=0的二根，
∴a+b=-15，ab=5，
∴$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$=$\frac{（-1{5）}^{2}-2×5}{5}$=43，
故答案是：43；

（2）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=$\frac{16}{c}$，
∴a、b是方程x²+cx+$\frac{16}{c}$=0的解，
∴c²-4•$\frac{16}{c}$≥0，c²-$\frac{{4}^{3}}{c}$≥0，
∵c是正数，
∴c³-4³≥0，c³≥4³，c≥4，
∴正数c的最小值是4．

（3）存在，当k=-2时，${y_1}{y_2}-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=2$．
由x²-y+k=0变形得：y=x²+k，
由x-y=1变形得：y=x-1，把y=x-1代入y=x²+k，并整理得：x²-x+k+1=0，
由题意思可知，x₁，x₂是方程x²-x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：
$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^2}-4（k+1）＞0\\{x_1}+{x_2}=1\\{x_1}{x_2}=k+1\\{y_1}{y_2}=（{x_1}-1）（{x_2}-1）\\{y_1}{y_2}-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=（{x_1}-1）（{x_2}-1）-\frac{{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=2\end{array}\right.$
即：$\left\{\begin{array}{l}k＜-\frac{3}{4}\\{k^2}+2k=0\end{array}\right.$
解得：k=-2．

点评 本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．