Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大；⑤当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞5．
其中正确的结论有（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：①根据抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=2，则有4a+b=0；
②观察函数图象得到当x=-3时，函数值小于0，则9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b；
③由于x=-1时，y=0，则a-b+c=0，易得c=-5a，所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；
④由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小；
⑤由抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），得出抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），再根据抛物线开口向下得出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞5．

解答：解：①∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=2，
∴b=-4a，即4a+b=0，故本结论正确；
②∵当x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，
即9a+c＜3b，故本结论错误；
③∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴a-b+c=0，
而b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故本结论正确；
④∵对称轴为直线x=2，
∴当-1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，
当x＞2时，y随x的增大而减小，故本结论错误；
⑤∵抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞5，故本结论正确．
故选：B．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．