Question

14．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）若AC=$\sqrt{3}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由BM⊥AB，CD∥BM，得到CD⊥AB，而AB是⊙O的直径，根据垂径定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，于是得到AD=AC，然后根据已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证明△ACD是等边三角形；
（2）过O作ON⊥AC于N，由垂径定理得到AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由（1）知，△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠CAB=30°，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵BM⊥AB，CD∥BM，
∴AB⊥CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴AD=AC，
∵DA=DC，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等边三角形；

（2）解：过O作ON⊥AC于N，
则AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由（1）知，△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°．
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠CAB=30°，
∴AO=$\frac{AN}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1，
∴⊙O的半径为1．

点评 本题考查的是圆的切线的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．