Question

如图，抛物线y=-x²+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．
（1）求A、B、C、D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E（m，n）是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，令x=0，求出y的值，即可得到点C的坐标，求出抛物线对称轴，然后写出点D的坐标；
（2）利用勾股定理求出CD，然后分①点C是顶角顶点时，利用等腰三角形三线合一的性质求解，②点D是顶角顶点时，分点P在点D的上方和下方两种情况写出点P的坐标；
（3）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，表示出EF，再根据S_△CBF=S_△CBE+S_△BEF列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）令y=0，则-x²+x+2=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
所以，A（-1，0），B（2，0），
令x=0，则y=2，
所以，点C（0，2），
对称轴为直线x=-

1

2×(-1)

=

1

2

，
所以，点D（

1

2

，0）；

（2）由（1）可知，OC=2，OD=

1

2

，
所以，CD=

22+( 1 2 )2

=

17

2

，
①点C是顶角顶点时，由等腰三角形三线合一的性质得，点P的纵坐标为点C的2倍，即2×2=4，
所以，点P的坐标为（

1

2

，4），
②点D是顶角顶点时，若点P在点D的上方，则P（

1

2

，

17

2

），
若点P在点D的下方，则P（

1

2

，-

17

2

）；
综上所述，抛物线对称轴上存在点P（

1

2

，4）或（

1

2

，

17

2

）或（

1

2

，-

17

2

），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

b=2 2k+b=0

，
解得

k=-1 b=2

，
所以，直线BC的解析式为y=-x+2，
∵点E（m，n）是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，
∴EF=-m²+m+2-（-m+2）=-m²+2m，
∴S_△CBF=S_△CBE+S_△BEF，
=

1

2

（-m²+2m）×2，
=-m²+2m，
=-（m-1）²+1，
∴当m=1时，△CBF的面积最大为1，
此时，n=-1+2=1，
所以，点E的坐标为（1，1）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值问题，难点在于（2）分情况讨论，（3）把△CBF的面积的面积分成两个三角形列式整理是解题的关键．