Question

通过对苏科版九（上）教材一道习题的探索研究，“在一次聚会中，有45个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？”
对这个问题，我们可以作这样的假设：第1个学生分别与其他44个学生握手，可握44次手；第2个学生也分别与其他44个学生握手，可握44次手；…依此类推，第45个学生与其他44个学生握手，可握44次手，如此共有45×44次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的．因此，按照题意，45个人每两人之间握一次手共握了

45×44

2

=990次手．像这样解决问题的方法我们不妨称它为“握手解法”．
（1）若本次聚会共有n个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了

 

次手．请灵活运用这一知识解决下列问题．
（2）一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有756条信息，这个QQ群中共有多少个好友？
（3）已知一条直线上共有5个点，那么这条直线上共有几条线段？
（4）利用（3）的结论解决问题：已知由边长为1的正方形拼成如图所示的矩形ABCD，图中共有①多少个矩形？②多少个正方形？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,规律型：图形的变化类

专题：

分析：（1）根据阅读材料得到规律；
（2）、（3）利用（1）中的规律进行答题；
（4）利用列表法进行解答．

解答：解：（1）利用“握手解法”得到

n(n-1)

2

．
故答案是：

n(n-1)

2

．

（2）设这个QQ群中共有n个好友，
依题意，得

n(n-1)

2

=756，
解得 n=28．
答：这个QQ群中共有28个好友；

（3）

5×4

2

=10．
答：一条直线上共有5个点，那么这条直线上共有10条线段；

（4）①图中AD上有6个点，可得AD上有

6×5

2

=15条线段；AB上有5个点，可得AB上有

5×4

2

=10条线段．而AD上任意一条线段与AB上任一条线段“握手”，都会构成一个矩形，所以图中共有mn=15×10=150个矩形；

②AD上的线段与AB上的线段“握手”时，要构成正方形，就要去“握手”的两条线段必须相等．如下表：

线段长度	AD上的条数	AB上的条数	“握手”次数
1	5	4	5×4=20
2	4	3	4×3=12
3	3	2	3×2=6
4	2	1	2×1=2

由表中可得，共“握手”20+12+2=40次，即图中共有40个正方形．

点评：本题考查了一元二次方程的应用和图形的变化规律．掌握“握手解法”的通式是解题的关键．