Question

13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为为（4，0），抛物线y=ax²-2x经过点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E从点0出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点E作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，点C在左，点D在右．设运动时间为t（t＞0），设线段CD的长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接OC、OD，点F为OE上一点，若tan∠DOC=$\frac{CD}{OF}$，当EC=EF时，求此时D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得关于x的方程，根据根与系数的关系，完全平方公式，可得答案；
（3）根据解方程，可得C、D点坐标，根据正切函数，可得tan∠COE，tan∠DOE，根据正切函数的和差，可得tan∠DOC，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）将A点坐标代入函数解析式，得
16a-8=0，
解得a=$\frac{1}{2}$．
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x；
（2）由题意，得
E（0，t）．∵CD∥x轴，
∴C、D的纵坐标为t．
当y=t时，$\frac{1}{2}$x²-2x=t，
化简，得
$\frac{1}{2}$x²-2x-t=0，
设方程的两根为x₁，x₂，
由根与系数的关系，得x₁+x₂=4，x₁•x₂=-2t．．
d=|x₁-x₂|．
d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16+8t，
d=2$\sqrt{4+2t}$；
（3）由x²-4x-2t=0，得
x₁=2+$\sqrt{4+2t}$，x₂=2-$\sqrt{4+2t}$．
即C（2-$\sqrt{4+2t}$，t），D（2+$\sqrt{4+2t}$，t）．CE=$\sqrt{4+2t}$-2，DE=$\sqrt{4+2t}$+2．
由CD∥x轴，得∠CEO=∠DEO=90°．
tan∠COE=$\frac{CE}{OE}$=$\frac{\sqrt{4+2t}-2}{t}$，tan∠DOE=$\frac{ED}{OE}$=$\frac{\sqrt{4+2t}+2}{t}$．
tan∠DOC=tan（∠DOE+∠COE）=$\frac{tan∠DOE+tan∠COE}{1-tan∠DOE•tan∠COE}$=$\frac{2\sqrt{4+2t}}{t-2}$．
又tan∠DOC=$\frac{CD}{OF}$=$\frac{2\sqrt{4+2t}}{OF}$．
∴$\frac{2\sqrt{4+2t}}{OF}$=$\frac{2\sqrt{4+2t}}{t-2}$，
∴OF=t-2．EF=t-（t-2）=2．
由EC=EF，即$\sqrt{4+2t}$-2=2．
解得t=6，
$\sqrt{4+2t}$+2=4+2=6，
D点的坐标为（6，6）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用完全平方公式得出d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂是解题关键；利用正切函数的和差得出关于t的方程是解题关键．