Question

4．如图，已知△ABC，分别以AB、AC、BC作边作正方形ABKH、正方形ACFG、正方形BCDE，作?BEPK，?CDQF，联结AP，AQ，PQ，求证：△APQ是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到BC=CD，AC=CF，由平行四边形的性质得到CD=FQ，CD∥FQ，得到BC=FQ，∠CFQ+∠DCF=180°，求得∠CFQ=∠ACB，推出△ABC≌△CQF，由全等三角形的性质得到∠BAC=∠QCF，AB=CQ，同理∠PBK=∠BAC，PB=AC，证得△ABP≌△QCA，根据全等三角形的性质得到AP=AQ，∠BAP=∠CQA，由三角形的内角和得到∠PAB+∠APB+∠PBK+∠ABK=180°，于是得到∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°-∠ABK=180°-90°=90°，即可得到结论．

解答 证明：∵四边形BCDE，ACFG是正方形，
∴BC=CD，AC=CF，
在?CDQF中，∵CD=FQ，CD∥FQ，
∴BC=FQ，∠CFQ+∠DCF=180°，
∵∠DCF+∠ACB=180°，
∴∠CFQ=∠ACB，
在△CFQ与△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CF}\\{∠ACB=∠CFQ}\\{BC=QF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CQF，
∴∠BAC=∠QCF，AB=CQ，
同理∠PBK=∠BAC，PB=AC，
∵∠ABK=∠ACF=90°，
∴∠ABP=∠QCA，
在△ABP与△QCA中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=AC}\\{∠ABP=∠QCA}\\{AB=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QCA，
∴AP=AQ，∠BAP=∠CQA，
∵∠PAB+∠APB+∠PBK+∠ABK=180°，
∴∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°-∠ABK=180°-90°=90°，
∴∠PAQ=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．