Question

11．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升15m，水面CD的宽是10m．
（1）在如图所示的直角坐标系下，求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发必须经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥480km．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位距桥拱最高点3m时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
（3）当货车接到紧急通知的同时，此桥上游40km处有一船只也接到该通知，此船正以每小时20km的最大速度顺水行驶而来，不知此船能否顺利通过此桥？请说明理由．（已知船的顶部距水面有3.5m高，船体上、下宽均为4m）．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象可以设出函数解析式，然后根据题目中的数据可以求得此抛物线的解析式；
（2）根据题意可以求得货车按原速到达搭桥的时间，也可以求得安全通过此桥用的时间，然后进行比较即可解答此题；
（3）根据题意可以求得此船到达此桥用的时间，也可以求得升到最大水位用的时间，然后进行比较即可解答此题．

解答 解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax²，点D的坐标为（5，b），点B（10，b-15），
b=a×5²，b-15=a×10²，
解得，a=$-\frac{1}{5}$，b=-5，
即抛物线的解析式为y=$-\frac{1}{5}{x}^{2}$；
（2）货车原速行驶到达搭桥所需时间为：480÷40-1=11小时，
∵点D（5，-5），
∴到搭桥禁止通行还有：（5-3）÷0.25=8小时，
∵11＞8，
∴货车按原来速度行驶，不能安全通过此桥，
∵（480-40）÷8=55，
∴若要安全通过此桥，则车速应超过55千米/时；
（3）当x=2时，y=$-\frac{1}{5}×{2}^{2}=-0.8$，
∵D（5，-5），
∴5-0.8-3.5=0.7，
即船要顺利通过此桥，水位最多上升0.7米，所需时间为：0.7÷0.25=2.8小时，
∵40÷20=2小时，2.8＞2，
∴此船可以安全通过此桥．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，明确图象上点的坐标代表的实际意义．