Question

3．我们知道：$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…，那么$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
利用上面的规律计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2009×2011}$=$\frac{1005}{2011}$．

Answer 1

分析 观察给定的等式变形找出规律“两个连续自然数的乘积的倒数=较小数的倒数-较大数的倒数”由此可将$\frac{1}{n（n+1）}$变形为两个分式相减的形式，再由类似的方法找出$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）这一规律，结合此规律将$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2009×2011}$进行变形即可得出结论．

解答 解：观察$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…，可发现两个连续自然数的乘积的倒数=较小数的倒数-较大数的倒数，
即$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
根据类推法可得出：$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2009×2011}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2011}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2011}$）=$\frac{1005}{2011}$．
故答案为：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；$\frac{1005}{2011}$．

点评 本题考查了数字的变化类，解题的关键是找出规律式$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．本题属于基础题，难度不大，再解决该题型题目时，根据给定等式发现规律是关键．