题目内容

9．如图1，直线l：y=-x+5与抛物线y=x2+bx+c交于坐标轴上两点B，C，且抛物线与x轴另一交点为点A．
（1）求抛物线解析式；
（2）若将直线l向下平移m个单位长度后，得到的直线l'与抛物线只有一个公共点D，求m的值及D点坐标；
（3）取BC中点N，过点N作MN∥y轴交抛物线于点M，如图2．若点P是坐标轴上一点，是否存在以C，B，P为顶点的三角形与△CMN相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）由直线和抛物线只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式求出m即可；
（3）由题意得出点M，N坐标求出$\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，分点P在x轴（又分$\frac{BC}{BP}=\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$或$\frac{BP}{BC}=\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$两种讨论计算）和y轴上（同①的方法即可）两种，即可．

解答 （1）对于直线y=-x+5，令x=0，则y=5；
∴C（0，5）
令y=0，则x=5；
∴B（5，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}25+5b+c=0\\ c=5\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}b=-6\\ c=5\end{array}\right.$，所以y=x2-6x+5                        
（2）由题意，直线l'解析式为y=-x+5-m，与抛物线只有一个公共点；
所以方程组$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}-6x+5\\ y=-x+5-m\end{array}\right.$只有一组解，消y得：x2-5x+m=0，
∴△=0，
∴$m=\frac{25}{4}$
此时，方程为${x^2}-5x+\frac{25}{4}=0$，
∴${x_1}={x_2}=\frac{5}{2}$，
所以$D（\frac{5}{2}，-\frac{15}{4}）$
（3）存在P，
∵取BC中点N，且B（5，0），C（0，5），
∴N（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
∵过点N作MN∥y轴交抛物线于点M，
∴M（$\frac{5}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
∴MN=$\frac{5}{2}$+$\frac{15}{4}$=$\frac{25}{4}$，
CN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∵直线BC解析式为y=-x+5，
∴∠OBC=45°，
∵MN∥y轴，
∴MN⊥x轴，
∴∠BNP=45°，
∴∠CNM=135°，
∵以C，B，P为顶点的三角形与△CMN相似
①当点P在x轴上时，
∵△OBC是等腰直角三角形，
∴无论点P在线段OB上还是在x轴负半轴，△BPC不可能有一个角为135°
∴点P只能在射线OB上，
∵∠OBC=45°，
设P（p，0），
∴BP=p-5，
∵BC=5$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BC}{BP}=\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$或$\frac{BP}{BC}=\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{5\sqrt{2}}{p-5}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$或$\frac{p-5}{5\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴p=9或p=$\frac{35}{2}$，
∴P（9，0）或（$\frac{35}{2}$，0），
②当点P在y轴上时
∵△OBC是等腰直角三角形，
∴无论点P在线段OC上还是射线CO上，△BPC不可能有一个角为135°，
∴点P只能在射线OC上，
同①的方法求得点P（0，9），（0，$\frac{35}{2}$），
即：符合条件的点P$（\frac{35}{2}，0），（9，0），（0，\frac{35}{2}），（0，9）$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一元二次方程根的判别式，中点坐标的确定，相似三角形的性质和判定，解本题的关键判断出∠CNM=135°．

练习册系列答案
相关题目
19．$\sqrt{4}$的值是（　　）
A．2B．±2C．$\sqrt{2}$D．16
20．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB平行且等于EF，求证：BC=FD．
17．用配方法解方程x2-$\frac{2}{3}$x+1=0，正确的是（　　）
A．（x-$\frac{2}{3}$）2=1，x1=$\frac{5}{3}$，x2=-$\frac{1}{3}$B．（x-$\frac{2}{3}$）2=$\frac{4}{9}$，x=$\frac{2±\sqrt{3}}{2}$
C．（x-$\frac{2}{3}$）2=-$\frac{8}{9}$，原方程无实数解D．（x-$\frac{1}{3}$）2=-$\frac{8}{9}$，原方程无实数解
4．下列命题：
①同位角相等；
②若a2=b2，则a=b；
③若a＞b，则-2a＞-2b；
④一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行且相等．
其中真命题的个数有（　　）
A．3B．2C．1D．0
14．下列说法正确的是（　　）
A．“任意画一个三角形，其内角和是360°”是随机事件
B．“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖
D．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为$\frac{7}{10}$
1．长沙市市政绿化工程中有一块面积为160m2的矩形空地，已知该矩形空地的长比宽多6m．
（1）请算出该矩形空地的长与宽；
（2）规划要求在矩形空地的中间留有两条互相垂直且宽度均为1m的人行甬道（其中两条人行甬道分别平行于矩形空地的长和宽），其余部分种上草．如果人行甬道的造价为260元/m2，种草区域的造价为220元/m2，那么这项工程的总造价为多少元？
18．已知x+y=2，2y2-y-4=0，则y-$\frac{x}{y}$的值为$\frac{3}{2}$．
20．已知四边形ABCD是正方形，AC、BD相交于点O，过点A作∠BAC的平分线分别交BD、BC于E、F．
（1）如图1，求证：CF=2EO；
（2）如图2，连接CE，在不添加其它线的条件下，直接写出图中的等腰三角形（等腰直角三角形除外）．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网