Question

5．如图，正五边形的边长为2，连结对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N．给出下列结论：①∠AME=108°；②AN²=AM•AD；③MN=3-$\sqrt{5}$；④S_△EBC=2$\sqrt{5}$-1．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据正五边形的性质得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根据三角形的内角和即可得到结论；由于∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，等量代换得到AN²=AM•AD；根据AE²=AM•AD，列方程得到MN=3-$\sqrt{5}$；在正五边形ABCDE中，由于BE=CE=AD=1+$\sqrt{5}$，得到BH=$\frac{1}{2}$BC=1，根据勾股定理得到EH=$\sqrt{（1+\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$，根据三角形的面积得到结论．

解答 解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正确；
∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，
∴AE²=AM•AD；
∴AN²=AM•AD；故②正确；
∵AE²=AM•AD，
∴2²=（2-MN）（4-MN），
∴MN=3-$\sqrt{5}$；故③正确；
在正五边形ABCDE中，
∵BE=CE=AD=1+$\sqrt{5}$，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴EH=$\sqrt{（1+\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$，
∴S_△EBC=$\frac{1}{2}$BC•EH=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$，故④错误；
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．