Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在AC上取一点G，使CG=CD，连接EG，根据等腰直角三角形三角形的性质可得CD=CG=2，再求出∠DCF=∠GCE，根据旋转的性质可得CE=CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF=EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时最短，再根据∠CAD=45°求解即可．

解答 解：如图，在AC上取一点G，使CG=CD，连接EG，
∵AB=AC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°
∴∠ACB=45°，
∴CD=2$\sqrt{2}$•cos45°=2，
∵旋转角为45°，
∴∠ECD+∠DCF=45°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=45°，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等腰直角△ABC的对称轴，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵CD=CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠DCF=∠GCE}\\{CD=CG}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF=EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
∵∠CAD=$\frac{1}{2}$×90°=45°，AG=AC-CG=2$\sqrt{2}$-2，
∴EG=AG•sin45°=（2$\sqrt{2}$-2）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2-$\sqrt{2}$，
∴DF=2-$\sqrt{2}$，
故答案为：2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．