Question

19．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，求证：DE=AD+BE；
（2）如图2，在△ABC中，∠C＜90°，求作直线l，使得按照（1）中的作法，仍然有DE=AD+BE．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件及互余关系，可证△CAD≌△BCE，得出CD=BE，CE=AD，由DE=CD+CE，得出线段DE=BE+AD．
（2）过点C作直线l，在直线l上取点D和点E，使得∠ADC=∠BEC=∠ACB=α，先证△CAD≌△BCE，得出CD=BE，CE=AD，由DE=CD+CE，得出线段DE=BE+AD．

解答 解：（1）如图1，∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠CDA=∠BEC=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△CAD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{∠CDA=∠BEC}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△BCE（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
又∵DE=CD+CE，
∴DE=BE+AD．

（2）如图2，过点C作直线l，在直线l上取点D和点E，使得∠ADC=∠BEC=∠ACB=α，则
∠ACD+∠BCE=180°-α，∠ACD+∠CAD=180°-α，
∴∠BCE=∠CAD，
在△CAD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{∠CDA=∠BEC}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△BCE（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
又∵DE=CD+CE，
∴DE=BE+AD．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是掌握：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．全等三角形的判定与全等三角形的性质是证明线段相等或角相等的重要工具．