Question

2．如图，PE、PF分别与⊙O相切于E、F两点，A为⊙O上不同于E、F的点，AB⊥EF于B，AC⊥PE于C，AD⊥PF于D，求证：∠ACB=∠ABD．

Answer 1

分析 连接AE，AF，根据已知条件AC⊥PE，AB⊥EF，AD⊥PF，于是得到A，C，E，B四点共圆，A，B，F，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠ACB=∠AEB，∠ABD=∠AFD，由于PF与⊙O相切于F，由弦切角定理得∠AFD=∠AEB，于是得到结论．

解答 证明：连接AE，AF，∵AC⊥PE，AB⊥EF，AD⊥PF，
∴A，C，E，B四点共圆，
A，B，F，D四点共圆，
∴∠ACB=∠AEB，∠ABD=∠AFD，
∵PF与⊙O相切于F，
由弦切角定理得：∠AFD=∠AEB，
∴∠ACB=∠ABD．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．