题目内容
7．把两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
（1）如图1，将△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，其面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）如图2，将△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，则sinα的值等于$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
分析 （1）根据平移的性质得到AD=BE，再结合两条平行线间的距离相等，则三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积，所以要求的梯形的面积等于三角形ABC的面积．根据60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的长，从而求得其面积；
（2）过D点作DH⊥AE于H，可以把要求的角构造到直角三角形中，根据三角形ADE的面积的不同计算方法，可以求得DH的长，进而求解．
解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，AC=1，
∴BC=$\sqrt{3}$，
∴S梯形CDBF=S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）过D点作DH⊥AE于H，在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠DAH=∠EAB，∠DHA=∠ABE=90°，
∴△ADH∽△AEB得$\frac{DH}{BE}=\frac{AD}{AE}$，即$\frac{DH}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{7}}$，解得DH=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
而DE=AB=2，在Rt△DHE中，sin∠α=$\frac{DH}{DE}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$÷2=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
点评 综合运用直角三角形的性质和平移的性质进行分析计算，考查学生综合运用数学知识的能力．此题是一个动点问题，虽然图形发生了变化，但根据同底同底等高的三角形面积相等，找到面积相等的三角形是解题的关键．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{b-a}{a}$ | B． | $\frac{a-b}{a}$ | C． | -1 | D． | 1 |
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