Question

如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）证明：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长；
（3）在没有辅助线的前提下，图中共有______对相似三角形．

Answer 1

（1）证明：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EM⊥AC，
∴EM∥BD，
∵E为AB的中点，
∴M为AD的中点，
∴AM=DM；

（2）∵EB∥FD，EM∥BD，
∴四边形FDBE是平行四边形，
∴FD=BD，
∵DF=2，
∴BE=2，
∴AB=2BE=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16；

（3）设ME与AC的交点为G，相似三角形有：
△AGE∽△AGM，△AGE∽△CGF，△AGM∽△CGF，△AEM∽△DFM，△ABC∽△ADC共5对．