Question

14．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积记作S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记作S₂，…，按照此规律继续下去，则S₂₀₁₇的值为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁴
• B． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁵
• D． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵

Answer 1

分析 根据题意可将前面几种情况列出后，然后找出其中的规律即可求出S₂₀₁₇的值．

解答 解：正方形的面积为：a²（a为边长），等腰直角三角形的面积为：$\frac{{c}^{2}}{4}$（c为斜边长），
S₁=2²，
S₂=$\frac{{2}^{2}}{2}$=2，
S₃=1=2⁰，
S₄=$\frac{1}{2}$=2^-1
∴S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-3，
∴当n=2017时，
∴S₂₀₁₇=（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴
故选（B）

点评 本题考查数字规律问题，解题的关键是将S_n的表达式求出，本题属于中等题型．