Question

6．如图，已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：AC=CP；
（2）若⊙O的半径为$2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC．根据圆周角定理即可求得∠COP=2∠ACO=60°，根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余，求得∠P=30°，即可证明；
（2）阴影部分的面积即为Rt△OCP的面积减去扇形OCB的面积．

解答 （1）证明：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴AO=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠COP=2∠ACO=60°．
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC．
∴∠P=30°．
∴∠A=∠P．
∴AC=PC．

（2）解：在Rt△OCP中，tan∠P=$\frac{OC}{CP}$，∵OC=2$\sqrt{3}$OC=2$\sqrt{3}$，∠P=∠A=30°，
∴PC=6，
∵S_△OCP=$\frac{1}{2}$CP•OC=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$且S_扇形COB=$\frac{60•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=2π，
∴S_阴影=S_△OCP-S_扇形COB=6$\sqrt{3}$-2π．

点评 本题考查切线的性质定理、圆周角定理、扇形的面积公式、等腰三角形的判定、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．