Question

4．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，BE⊥AE，垂足为E，
（1）求证：AD=AE．
（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由边角关系求证△ADB≌△AEB即可；
（2）由题中条件可得∠BAC=60°，进而可得△ABC为等边三角形．

解答 （1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥AB，
∴∠E=90°=∠ADB，
∵AB平分∠DAE，
∴∠BAD=∠BAE，
在△ADB和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠E}\\{∠BAD=∠BAE}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD=AE；

（2）△ABC是等边三角形．理由：
∵BE∥AC，
∴∠EAC=90°，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠BAE=∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．