Question

15．数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动：
（1）如图1，若连接矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则Rt△ADC可由Rt△ABC经过旋转变换得到，这种旋转变换的旋转中心是点O、旋转角度是180°；
（2）如图2，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折、展平．再沿折痕GC折叠，使点B落在EF上的点B′处，这样能得到∠B′GC．求∠B′GC的度数．
（3）如图3，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI（如图4）．若BH=BI，BC=a，则：①证明以BD、BF、BH为三边构成的新三角形的是直角三角形；②若这个新三角形面积小于50$\sqrt{15}$，请求出a的最大整数值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形是中心对称图形，可以将Rt△ABC旋转180°得到Rt△ADC而得出结论；
（2）连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，就有BB'=B'C，由翻折可得B'C=BC，从而△BB'C为等边三角形．就可以求出∠B'CB=60°；
（3）分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N，连接DM、FQ、HN、BD、BF、BH，由BP=PC，根据平移变换的性质，就有△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，就有DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI，由勾股定理就可以求出HN²=$\frac{15}{4}$a²，从而得出新三角形三边的值，从而得出结论．

解答 解：（1）将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC；
故答案为：O、180；

（2）如答图1，连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，故BB'=B'C，由翻折可得，
B'C=BC，
∴△BB'C为等边三角形．
∴∠B'CB=60°，
（或由三角函数FC：B'C=1：2求出∠B'CB=60°也可以．）
∴∠B'CG=30°，
∴∠B'GC=60°；

（3）①如答图2，分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N，连接DM、FQ、HN、BD、BF、BH，
∵△PBC中，PB=PC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI．
在Rt△BHN中，BH=BI=4a，
BH²=HN²+BN²，HN²=$\frac{15}{4}$a²，
则DM²=FQ²=HN²=$\frac{15}{4}$a²，
BD²=BM²+DM²=6a²，BF²=BQ²+FQ²=10a²，
新三角形三边长为4a、$\sqrt{6}$a、$\sqrt{10}$a．
∵BH²=BD²+BF²
∴新三角形为直角三角形．        
（或通过转换得新三角形三边就是BD、DI、BI，即求△GBI的面积或利用△HBI与△HGI相似，求△HBI的面积也可以）．
②其面积为$\frac{1}{2}$$\sqrt{6}$a•$\sqrt{10}$a=$\sqrt{15}$a²．
∵$\sqrt{15}$a²＜50$\sqrt{15}$，
∴a²＜50
∴a的最大整数值为7．

点评 本题考查了旋转变换的运用，翻折变换的运用，平移变换的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用．本题的综合性较强要求学生熟练的运用图形变换解题是关键．