Question

18．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=100°，AD是角平分线．求证：AB=AD+CD．

Answer 1

分析 作出辅助线，先利用角平分线得出∠BAD=∠CAD，进而判断出△AFD≌△ACD，得出DF=CD，再判断出BE=DE，再用等量代换即可．

解答 解：如图，

在AB上截取AE=AD，AF=AC，
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=100°，
∴∠BAC=∠ABC=40°
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=20°
在△AFD和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△ACD，
∴DF=CD，
∠DAE=20°，
又AE=AD，
∴∠AED=80°
又∠B=40°，
∴∠EDB=∠AED-∠B=40°=∠B
∴BE=DE
∵∠DFE=180°-∠AFD=80°=∠AED
∴DE=DF
又BE=DE，DF=CD
∴BE=CD
又AE=AD
∴AB=AE+BE=AD+CD

点评 本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定的难度．