Question

8．如图，把两个大小相同的含30°的直角三角形三角板的直角顶点叠合，其中一个三角形绕着直角顶点顺时针旋转”．

（1）图1是一种位置抽象出的几何图形，此时 A、B₁、B在同一条直线上．如果AB=16厘米，则AB₁的长为8厘米；
（2）图2也是一种位置抽象出的几何图形，此时A₁在 AB的延长线上，试判断线段A A₁和B B₁的位置关系，并说明理由．
（3）在绕着直角顶点顺时针旋转过程中，设旋转角为a（0＜a＜90°），若A₁B₁交AC于E，联结A A₁，若△A₁EA是等腰三角形，请求出a的度数．

Answer 1

分析 （1）利用含30°的直角三角形的性质求出BC，再由旋转得出BC=B₁C即可；
（2）先求出∠BCA₁=30°，再得出∠CBB₁=30°，即可得出∠ABB₁=90°．
（3）分三种情况利用直角三角形性质和旋转的特征讨论计算

解答 解：两个大小相同的含30°的直角三角形三角板的直角顶点叠合，
∴AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，AC=A₁C₁，∠BAC=∠B₁A₁C₁=30°．
（1）Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠B=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB=8cm，
由旋转知，BC=B₁C，
∴△BCB₁是等边三角形，
∴BB₁=BC=8cm，
∴AB₁=AB-BB₁=8cm．
故答案为：8；
（2）在△CAA₁中，CA=CA₁，
∴∠CA₁A=∠A=30°，
又∠CA₁B₁=30°，
∵∠ABC=∠AA₁C+∠BCA₁，
∴60°=30°+∠BCA₁，∠BCA₁=30°，
∴∠BCB₁=120°，
又BC=B₁C，
∴∠CBB₁=$\frac{1}{2}$（180°-∠BCB₁）=30°，
∴∠ABB₁=90°，
即：AA₁⊥BB₁．
（3）△A₁EA是等腰三角形，分三种情况：
①EA=EA₁，则∠EA₁A=∠EAA₁，
∵CA=CA₁，
∴∠CA₁A=∠CAA₁，
∴E、C重合，不合题意，舍去（C、E不可能重合）．
②AA₁=AE，∠A₁AC=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴∠AA₁E=∠AEA₁=$\frac{1}{2}$[180°-$\frac{1}{2}$（180°-α）]=45°+$\frac{1}{4}$α，
又∠AA₁E=∠AA₁C-∠CA₁B₁=$\frac{1}{2}$（180°-α）-30°=60°-$\frac{1}{2}$α，
∴45°+$\frac{1}{4}$α=60°-$\frac{1}{2}$α，
∴α=20°，
③A₁A=A₁E，
则△A₁AE∽△CAA₁，
∠AA₁E=α，∠A₁EA=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
又∠A₁EA=∠A₁CA+∠CA₁B₁=α+30°，
∴90°-$\frac{1}{2}$α=α+30°，
∴α=40°．
综上所述，旋转角α=20°或40°．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是寻找角之间的关系．