Question

3．问题初探：如图1，在矩形ABCD中，AB=$\frac{1}{2}$BC=a，点E是BC边中点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段A′E（点A′与点D重合），则易得△BA′E的面积为$\frac{1}{2}$a²．

理解应用：如图2，在Rt△ABC中，BC=a，∠ACB=90°，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，用含a的代数式表示△BCE的面积，并说明理由．
问题解决：如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=6，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，直接写出△BCE的面积．

Answer 1

分析 问题初探：由矩形的性质得出CD=AB，再用面积公式求解即可：
理解应用：作EF⊥BC于F，如图2，由旋转的性质得AB=EB，∠ABE=90°，再根据等角的余角相等得到∠A=∠EBF，则可根据“AAS”可判断△ABC≌△BEF，所以BC=EF=a，然后根据三角形面积公式可得到S_△BCE═$\frac{1}{2}$a²；
解决问题：作AH⊥BC于H，连结EH，如图3，根据等腰三角形的性质得CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=3，然后利用探究的结论得到S_△BEH=$\frac{1}{2}$BH²=$\frac{9}{2}$，于是有S_△BCE=2S_△BEH=9．

解答 解：
问题初探：在矩形ABCD中，CD=AB=a，
∵点E是BC边中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=a，
∴S_△BA'E=$\frac{1}{2}$BE×CD=$\frac{1}{2}$a²，
故答案为$\frac{1}{2}$a²．
理解应用：△BCE的面积为$\frac{1}{2}$a²，
理由：作EF⊥BC于F，如图1，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，
∴AB=EB，∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠EBF=90°，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠EBF，
在△ABC和△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠EFB}\\{∠A=∠EBF}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BEF，
∴BC=EF=a，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC×EF=$\frac{1}{2}$a²，
问题解决：作AH⊥BC于H，连接EH，如图2，
∵AB=AC，
∴CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
由（2）的结论得，S_△BEH=$\frac{1}{2}$BH²=$\frac{9}{2}$，
∴S_△BCE=2S_△BEH=2×$\frac{9}{2}$=9．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是构建全等三角形．