Question

如图，在半径为r的半圆⊙O中，半径OA⊥直径BC，点E、F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求证：S_{四边形AEOF}=

1

2

r²；
（2）设AE=x，S_△OEF=y，写出y与x之间的函数关系式及自变量x的范围；
（3）当S_△OEF=

5

18

S_△ABC时，求点E、F分别在AB、AC上的位置及EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OC，AE=CF，∠EAO=∠C=45°
∴△AOE≌△COF，
∴四边形AEOF的面积=△AOC的面积=

1

2

r²．

（2）∵S_△OEF=S_{四边形AEOF}-S_△AEF=

1

2

r²-

1

2

（

2

r-x）•x=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²，
∴y=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²（0＜x＜

2

r）

（3）当S_△OEF=

5

18

S_△ABC时，y=

5

18

r²
∴

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²=

5

18

r²
∴x₁=

2

3

r，x2=

2 2

3

r，
∴

AE

AB

=

1

3

，

AF

AC

=

2

3

或

AE

AB

=

2

3

，

AF

AC

=

1

3

即AE=

1

3

AB，AF=

2

3

AC或AE=

2

3

AB，AF=

1

3

AC．
∴EF=

10

3

r．