Question

14．如图1，直线AB∥CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．
（1）若∠PEF=48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，请直接写出∠EFP的度数．
（2）若∠PEF=75°，∠CFQ=$\frac{1}{2}$∠PFC，求∠EFP的度数．

Answer 1

分析 （1）①如图1，当点Q落在AB上，根据三角形的内角和即可得到结论；①如图2，当点Q落在CD上，由折叠的性质得到PF垂直平分EQ，得到∠1=∠2，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）①如图3，当点Q在平行线AB，CD之间时，设∠PFQ=x，由折叠可得∠EFP=x根据平行线的性质即可得到结论；②如图4，当点Q在CD的下方时，设∠CFQ=x，由∠CFQ=$\frac{1}{2}∠$PFC得，∠PFC=2x根据平行线的性质即可得到结论．

解答 解：（1）①如图1，当点Q落在AB上，
∴FP⊥AB，
∴∠EFP=90°-∠PEF=42°，
①如图2，当点Q落在CD上，
∵将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处，
∴PF垂直平分EQ，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠QFE=180°-∠PEF=132°，
∴∠PFE=$\frac{1}{2}∠$QFE=66°；
（2）①如图3，当点Q在平行线AB，CD之间时，
设∠PFQ=x，由折叠可得∠EFP=x，
∵∠CFQ=$\frac{1}{2}∠$PFC，
∴∠PFQ=∠CFQ=x，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴75°+x+x+x=180°，
∴x=35°，
∴∠EFP=35°；
②如图4，当点Q在CD的下方时，
设∠CFQ=x，由∠CFQ=$\frac{1}{2}∠$PFC得，∠PFC=2x，
∴∠PFQ=3x，
由折叠得，∠PFE=∠PFQ=3x，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴2x+3x+75°=180°，
∴x=21°，
∠EFP=3x=63°，
综上所述，∠EFP的度数是35°或63°．

点评 本题考查了平行线的性质，折叠的性质，正确的作出图形是解题的关键．