如图1.在△ACB和△AED中.AC=BC.AE=DE.∠ACB=∠AED=90°.点E在AB上.F是线段BD的中点.连接CE.FE．(1)若AD=3$\sqrt{2}$.BE=4.求EF的长,(2)求证:CE=$\sqrt{2}$EF,(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转.使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上.连接BD.取BD的中点F.问(2)中的结论是否仍然成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD=3$\sqrt{2}$，BE=4，求EF的长；
（2）求证：CE=$\sqrt{2}$EF；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

分析（1）由AE=DE，∠AED=90°，AD=3$\sqrt{2}$，可求得AE=DE=3，在Rt△BDE中，由DE=3，BE=4，可知BD=5，又F是线段BD的中点，所以EF=$\frac{1}{2}$BD=2.5；
（2）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=$\sqrt{2}$EF；
（3）思路同（1）．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，要证明EF=FG，需要证明△DEF和△FGB全等．由全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此得出结论．

解答解：（1）∵∠AED=90°，AE=DE，AD=3$\sqrt{2}$，
∴AE=DE=3，
在Rt△BDE中，
∵DE=3，BE=4，
∴BD=5，
又∵F是线段BD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=2.5；
（2）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=$\sqrt{2}$FE；
解法1：∵∠AED=∠ACB=90°
∴B、C、D、E四点共圆
且BD是该圆的直径，
∵点F是BD的中点，
∴点F是圆心，
∴EF=CF=FD=FB，
∴∠FCB=∠FBC，∠ECF=∠CEF，
由圆周角定理得：∠DCE=∠DBE，
∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°
∴∠ECF=45°=∠CEF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$EF．
解法2：∵∠BED=∠AED=∠ACB=90°，
∵点F是BD的中点，
∴CF=EF=FB=FD，
∵∠DFE=∠ABD+∠BEF，∠ABD=∠BEF，
∴∠DFE=2∠ABD，
同理∠CFD=2∠CBD，
∴∠DFE+∠CFD=2（∠ABD+∠CBD）=90°，
即∠CFE=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$EF．
（2）（1）中的结论仍然成立．
解法1：如图2-1，连接CF，延长EF交CB于点G，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EDF和△GBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠GBF}\\{DF=BF}\\{∠EFD=∠GFB}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△GBF，
∴EF=GF，BG=DE=AE，
∵AC=BC，
∴CE=CG，
∴∠EFC=90°，CF=EF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴CE=$\sqrt{2}$FE；
解法2：如图2-2，连结CF、AF，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°，
又∵点F是BD的中点，
∴FA=FB=FD，
在△ACF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{FA=FB}\\{AC=BC}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCF，
∴∠ACF=∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵FA=FB，CA=CB，
∴CF所在的直线垂直平分线段AB，
同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，
又∵DA⊥BA，
∴EF⊥CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$EF．