Question

12．已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E、F分别在AB、CD上，DF=BE，AC与EF相交于点M，求证：AM=CM．

Answer 1

分析 首先证明△ACD≌△CAB，推出AB=CD，由DF=EB，推出FC=AE，再证明△CFM≌△AEM即可．

解答 证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠DCA=∠BAC，
在△ACD和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠ACB}\\{AC=CA}\\{∠DCA=∠BAC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CAB，
∴AB=CD，
∵DF=EB，
∴FC=AE，
 在△CFM和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMC=∠AME}\\{∠FCA=∠EAM}\\{CF=AE}\end{array}\right.$，
∴△CFM≌△AEM，
∴CM=AM．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是用了两次全等三角形的证明，属于中考常考题型．