Question

13．定义符号max{m，n}的含义为：当m＞n时，max{m，n}=m；当m≤n时，max{m，n}=n．则对于函数y=max{-x²+1，-x}，下列说法不正确的个数是（　　）
①函数有最小值
②函数中，y随x的增大而减小
③方程y=k（k为常数）的解若有2个，则k=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
④方程y=k（k为常数）的解可能有3个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 理解max{m，n}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．

解答 解：由-x²+1=-x可得x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-x}&{（x＜\frac{1-\sqrt{5}}{2}或x＞\frac{1+\sqrt{5}}{2}）}\\{-{x}^{2}+1}&{（\frac{1-\sqrt{5}}{2}≤x≤\frac{1+\sqrt{5}}{2}）}\end{array}\right.$，其函数图象如下：

①由函数图象可知，函数图象无最高点也无最低点，即函数没有最小值和最大值，故此结论错误；
②当x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$或x＞0时，y随x的增大而减小；当$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜0时，y随x的增大而增大，故此结论错误；
③由函数图象可知当直线y=k过点A或抛物线顶点时，直线与函数图象有两个交点，即方程y=k（k为常数）的解若有2个，此时k=-$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或k=1，故此结论不正确；
④由图象可知，当$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜k＜1时，直线y=k与函数图象有3个交点，即方程y=k（k为常数）的解有3个，此结论正确；
故选：B．

点评 本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义max{m，n}、画出函数图象和掌握函数的性质是解题的关键．