Question

8．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A（-3，0），B两点，四边形ABCD是边长为4的正方形，且抛物线的顶点E落在过B的直线1上．
（1）求顶点E的坐标；
（2）将抛物线沿着射线EB方向平移，使顶点仍落在直线1上，且平移后的抛物线过点C，求平移后抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）由A（-3，0）及正方形ABCD边长为4，可求得B（1，0），把A（-3，0），B（1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c即可求得b，c，进而可求得结论；
（2）由OB=1，BC=4，可求得C（1，4），由待定系数法求得BC的解析式y=x-1，因为抛物线的顶点E落在过B的直线1上，故设解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-m）²+m-1，把C（1，4）代入即可求得m，即得结论．

解答 解：（1）∵A（-3，0），正方形ABCD边长为4，
∴B（1，0），把A（-3，0），B（1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×（-3）^{2}-3b+c=0}\\{\frac{1}{2}×{1}^{2}+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2，
∴E（-1，-2）；

（2）∵OB=1，BC=4，
∴C（1，4），
设y=kx+b，把B（1，0），E（-1，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{-2=-k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k=1}\end{array}\right.$，
∴y=x-1，
设 平移后抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-m）²+m-1，
∵抛物线过点C，
∴4=$\frac{1}{2}$（1-m）²+m-1，
解得：m=±3，
∴平移后抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-3）²+2，或y=$\frac{1}{2}$（x+3）²-4．

点评 本题主要考查了待定系数法确定函数关系式，设出平移后抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-m）²+m-1是解题的关键．