Question

4．如图，AB∥CD，AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AB与CD间的距离是3$\sqrt{3}$，求AC，BD和CD的长．

Answer 1

分析 过A作AE⊥CD，交CD的延长线于E，过B作BF⊥CD，交CD的延长线于F，于是得到四边形ABFE是矩形，由AB与CD间的距离是3$\sqrt{3}$，求得AE=BF=3$\sqrt{3}$，EF=AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，在R_t△ACE中，根据已知条件得到AC=$\sqrt{2}$AE=3$\sqrt{6}$，在R_t△BDF中，根据已知条件求得BD=BF•cos30°=3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{2}$，然后由线段的和差即可得到结论．

解答 解：过A作AE⊥CD，交CD的延长线于E，过B作BF⊥CD，交CD的延长线于F，
∴AE∥BF，
∵AB∥CD，
∴四边形ABFE是矩形，∵AB与CD间的距离是3$\sqrt{3}$，
∴AE=BF=3$\sqrt{3}$，EF=AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在R_t△ACE中，∵∠CAE=45°，
∴CE=AE=3$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{2}$AE=3$\sqrt{6}$，
在R_t△BDF中，∵∠DBF=30°，
∴BD=BF•cos30°=3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{9}{4}$，
∴CD=CE+EF-DF=$\frac{44\sqrt{3}-27}{12}$．

点评 本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．