Question

5．已知一次函数y=mx+2m+8与x轴、y轴交于点A、B，若图象经过点C（2，4）．过点C作x轴的平行线，交y轴于点D，在△OAB边上找一点E，使得△DCE构成等腰三角形，则点E坐标为（0，6）或（0，2）或（2-$\sqrt{2}$，4+$\sqrt{2}$）或（2+$\sqrt{2}$，4-$\sqrt{2}$）或（1，0）或（1，5）．

Answer 1

分析 利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=-x+6，根据解析式y=-x+6求得A、B的坐标，因为点C（2，4）在直线AB上，所以BC=2$\sqrt{2}$，以D为圆心，以2为半径作圆，交OB于B和E₂，以B为圆心，以2为半径作圆，交AB于E₃和E₄，作DC的垂直平分线交OA于E₅，从而求得E的坐标．

解答 解：∵一次函数y=mx+2m+8的图象经过点C（2，4），
∴4=2m+2m+8，
解得m=-1，
∴一次函数为y=-x+6，
∵与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（6，0），B（0，6），
如图，∵C（2，4），
∴C点在直线AB上，
以D为圆心，以2为半径作圆，交OB于B和E₂，
此时E（0，6）或（0，2）；
以B为圆心，以2为半径作圆，交AB于E₃和E₄，
此时E（2-$\sqrt{2}$，4+$\sqrt{2}$）或（2+$\sqrt{2}$，4-$\sqrt{2}$），
作DC的垂直平分线交OA于E₅，交AB于E₆，此时E₅（1，0），E₆（1，5）；
综上，点E坐标为（0，6）或（0，2）或（2-$\sqrt{2}$，4+$\sqrt{2}$）或（2+$\sqrt{2}$，4-$\sqrt{2}$）或（1，0）或（1，5）；
故答案为（0，6）或（0，2）或（2-$\sqrt{2}$，4+$\sqrt{2}$）或（2+$\sqrt{2}$，4-$\sqrt{2}$）或（1，0）或（1，5）．

点评 本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定，三角形相似等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．