Question

16．如图，矩形ABCD的顶点AB在x轴上，点D的坐标为（3，4），点E在边BC上，△CDE沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处，若△ODF为等腰三角形，点C的坐标为（8，4）或（3$+2\sqrt{5}$，4）或（$\frac{43}{6}$，4）．

Answer 1

分析 分三种情形讨论①DF=DO，②OD=OF，③FD=FO，只要求出DF的长即可解决问题．

解答 解：①当DF=DO时，在RT△AOD中，∵AO=3，AD=4，
∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴CD=DF=DO=5，
∴点C坐标（8，4）．
②OD=OF时，∵DF=OD=5，OA=3，
∴AF=2，DF=CD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴点C坐标（3+2$\sqrt{5}$，4）．
③当FD=FO时，设FD=FO=x，
在RT△ADF中，∵AD²+AF²=DF²，
∴4²+（x-3）²=x²，
∴x=$\frac{25}{6}$，
∴点C坐标（$\frac{43}{6}$，4）．
综上所述，满足条件的点C坐标（8，4）或（3+2$\sqrt{5}$，4）或（$\frac{43}{6}$，4）．
故答案为（8，4）或（3+2$\sqrt{5}$，4）或（$\frac{43}{6}$，4）．

点评 本题考查矩形的性质、翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．