Question

9．如图，点E是正方形ABCD外一点，EA=4，EB=3，且∠AEB=45°，则ED的长为（　　）

• A． $\sqrt{23}$
• B． 2$\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{41}$
• D． 5$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图，作AM⊥EB．EK⊥CD存在分别为M、K．EK交AB于N，先求出AB，再利用面积法求出EN，再根据DE=$\sqrt{E{K}^{2}+D{K}^{2}}$即可解决问题．

解答 解：如图，作AM⊥EB．EK⊥CD存在分别为M、K．EK交AB于N．

∵∠AEB=45°，AE=4，
∴EM=AM=2$\sqrt{2}$，
∴BM=3-2$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（3-2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{25-12\sqrt{2}}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•EN=$\frac{1}{2}$EB•AM，
∴EN=$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{25-12\sqrt{2}}}$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠NAD=∠ADK=∠DKN=90°．
∴四边形ANKD是矩形，
∴AN=DK，
∴AN²=DK²=AE²-EN²，
∴DE=$\sqrt{E{K}^{2}+D{K}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{25-12\sqrt{2}}}）^{2}+（\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{25-12\sqrt{2}}}+\sqrt{25-12\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{41}$．
故选C．

点评 此题分别考查了正方形的性质、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．