Question

3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出当t为何值时．四边形AFEC的面积为19．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠BAC=∠DCA，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据勾股定理求出AC，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；
（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，根据相似三角形的性质得到$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$，得到EF=$\frac{4}{5}$t，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC；
（2）在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∵△ACD∽△BAC，
∴$\frac{DC}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{DC}{8}$=$\frac{8}{10}$，
解得：DC=6.4；
（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，
则△ACB∽△EGB，
∴$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$，即$\frac{EG}{8}$=$\frac{t}{10}$，
解得，EF=$\frac{4}{5}$t，
则y=S_△ABC-S_△FBE=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×（10-2t）×$\frac{4}{5}$t=$\frac{4}{5}$t²-4t+24（0＜t＜5），
当y=19时，$\frac{4}{5}$t²-4t+24=19
解得t=$\frac{5}{2}$，
故当t=$\frac{5}{2}$时，y的值为19．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的解析式的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．