Question

13．设b为正整数，a为实数，记M=a²-4ab+5b²+2a-2b+$\frac{11}{4}$，在a，b变动的情况下，求M可能取得的最小整数值．并求出M取得最小整数值时a、b的值．

Answer 1

分析 根据配方法把M进行变形，根据b为正整数，求出M可能取得的最小整数值，把M的最小值代入配方后的式子，求出a、b的值．

解答 解：M=a²-4ab+5b²+2a-2b+$\frac{11}{4}$
=（a-2b）²+2（a-2b）+1+b²+2b+$\frac{3}{4}$
=（a-2b+1）²+（b+1）²+$\frac{3}{4}$，
∵b为正整数，
∴M≥$\frac{19}{4}$，M可能取得的最小整数值是5，
（a-2b+1）²+（b+1）²+$\frac{3}{4}$=5，
（a-2b+1）²+（b+1）²=$\frac{17}{4}$，
∵b为正整数，∴b+1=2，
（a-2b+1）²=$\frac{1}{4}$，
a=$\frac{1}{2}$或a=$\frac{3}{2}$，
∴b=1，a=$\frac{1}{2}$或a=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，掌握配方法的步骤和非负数的性质是解题的关键．