Question

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）求x为何值时，PQ⊥AC；
（2）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
（3）①设△PQD的面积为y（cm²），求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围．
②△PQD的面积是否有最大值？若有，请求出这个最大值，及此时x的值；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
（2）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．再根据平行线等分线段定理即可证明；
（3）①根据CQ=2t，∠C=60°，得出QE=CQ•sin60°=

3

x，进而求出面积即可，②利用二次函数的性质即可求出△PQD面积的最大值．

解答：（1）解：当Q在AC上时，由题意得，BP=t，CQ=2t，PC=4-t；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-t=2×2t，
∴t=

4

5

；
当Q在AB上时，由题意得，BP=t，AQ=2t-4，则BQ=4-（2t-4）=8-2t，
∵AB=BC=CA=4，∴∠B=60°；
若PQ⊥AB，则有∠QPB=30°，
∴PB=2BQ，
∴t=2（8-2t），
解得：t=

16

5

（满足条件2≤t≤4），
即当t=

16

5

时，PQ⊥AB；
（2）证明：作QE⊥DC于E，
当0＜t＜2时，点P在BD上，在△QPC中，QC=2t，∠C=60°；
∵QE⊥DC，
∴EC=

1

2

QC=t，
∴BP=EC，
∵BD=CD．
∴DP=DE；
∵AD⊥BC，QE⊥BC，
∴∠ADC=∠QEC，
∴AD∥QE，
∴OP=OQ，
∴S_△PDO=S_△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
（3）①解：∵当0＜t＜2时，
CQ=2t，∠C=60°，
∴QE=CQ•sin60°=

3

t，
PD=2-t，
∴△PQD的面积为：y=

1

2

×PD×EQ=

1

2

（2-t）•

3

t=-

3

2

t²+

3

t=-

3

2

（t-1）²+

3

2

，
②△PQD的面积有最大值，
理由如下：由①可知y=

1

2

×PD×EQ=

1

2

（2-t）•

3

t=-

3

2

t²+

3

t=-

3

2

（t-1）²+

3

2

，
∴当t=1时，△PQD面积有最大值为：

3

2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形的面积求法，综合运用了等边三角形的性质、直角三角形的性质，解题的关键是用动点的时间x和速度表示线段的长度，本题有一定的综合性，难度中等．