Question

如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D点的任一点，且∠NMB=∠MBC．
若DN=1，则BM的长为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理

专题：

分析：延长MN于K，根据正方形的性质结合N是DC的中点，得出AD=2，MD=CK，MN=NK，根据∠NMB=∠MBC．得出MK=BK=BC+CK，设CK=MD=x，则MK=2+x，MN=1+

1

2

x，在RT△MND中，根据勾股定理求得x的值，进而求得AM的值，在RT△MAB中根据勾股定理即可求得BM的值．

解答：解：延长MN交BC的延长线于K，
∵在正方形ABCD中，N是DC的中点，
∴AD=DC=DN+NC=2DN=2，AD∥BC，
在△MND与△KNC中，

∠MND=∠KNC ∠D=∠NCE DN=CN

，
∴△MND≌△KNC（AAS），
∴MD=CK，MN=NK，
∵∠NMB=∠MBC．
∴MK=BK=BC+CK，
设CK=MD=x，
∴MK=2+x，MN=1+

1

2

x，
在RT△MND中，x²+1²=（1+

1

2

x）²，
解得x=

4

3

，x=0（舍去），
∴AM=2-

4

3

=

2

3

，
在RT△MAB中，BM²=AB²+AM²=4+

4

9

=

40

9

，
∴BM=

2

3

10

．
故答案为

2

3

10

．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建等腰三角形是本题的关键．