Question

10．已知：AB=BC，∠ABC=90°．将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD．点C关于直线BD的对称点为E，连接AE，CE．
（1）如图，①补全图形；②求∠AEC的度数；
（2）若AE=$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{3}$-1，请写出求α度数的思路．（可以不写出计算结果）

Answer 1

分析 （1）①作CF⊥BD并延长CF到E使EF=CF，如图，
②连结BE，如图，利用对称的性质得BE=BC，则∠BEC=∠C，则根据三角形内角和可计算出∠BEC=90°-$\frac{1}{2}$∠EBC，同样可得∠BEA=90°-$\frac{1}{2}$∠ABE，于是得到∠AEC=∠BEC+∠BEA=180°-$\frac{1}{2}$（∠EBC+∠ABE）=135°；
（2）作AH⊥CE于H，AG⊥BD于G，如图，先证明△AHE为等腰直角三角形，则AH=HE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=1，再利用对称的性质得CF=EF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，则HF=HE+EF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，接着利用四边形AGFH为矩形得到AG=HF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，然后根据旋转的性质得AB=AD，∠BAD=α，再证明△ABD≌△BCE得到∠CBE=∠BAD=α，AG=BF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，利用勾股定理计算出BE=$\sqrt{2}$，则可判断△ABE为等边三角形，所以∠ABE=60°，于是得到∠α=30°．

解答 解：（1）①如图，

②连结BE，如图，
∵点C关于直线BD的对称点为E，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠C，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$（180°-∠EBC）=90°-$\frac{1}{2}$∠EBC，
∵BA=BC，
∴BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴∠BEA=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABE）=90°-$\frac{1}{2}$∠ABE，
∴∠AEC=∠BEC+∠BEA=90°-$\frac{1}{2}$∠EBC+90°-$\frac{1}{2}$∠ABE=180°-$\frac{1}{2}$（∠EBC+∠ABE）=180°-$\frac{1}{2}$×90°=135°；
（2）作AH⊥CE于H，AG⊥BD于G，如图，
∵∠AEC=135°，
∴∠AEH=45°，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴AH=HE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=1，
∵点C关于直线BD的对称点为E，
∴CF=EF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴HF=HE+EF=1+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
易得四边形AGFH为矩形，
∴AG=HF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∵线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD，
∴AB=AD，∠BAD=α，
∵∠ABD+∠CBF=90°，∠CBF+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠CBE=∠BAD=α，AG=BF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
在Rt△BFE中，BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}+1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}-1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BE=AB=AE=$\sqrt{2}$，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBE=30°，
∴∠α=30°．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了对称的性质和等边三角形的判定与性质．