Question

18．如图，在?ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE，△ADF，延长CB交AE于点G，点G落在点A、E之间，连接EF、CF．则以下四个结论：
①CG⊥AE；
②△CDF≌△EBC；
③∠CDF=∠EAF；
④△ECF是等边三角形．
其中一定正确的是②③④．（把正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质，只有∠ABC=150°时，CG⊥AE．根据平行四边形的对角相等，等边三角形的每一个角都是60°表示出∠CDF=∠EBC，平行四边形的对边相等，等边三角形的三条边都相等可得CD=EB，DE=BC，然后利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定②正确；再表示出∠EAF，可得∠CDF=∠EAF，判定③正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF=EF，判定△ECF是等边三角形，判定④正确；

解答 解：在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故①错误；
∵△ABE、△ADF是等边三角形
∴FD=AD，BE=AB
∵AD=BC，AB=DC
∴FD=BC，BE=DC
∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE
∴∠CDF=∠EBC
∴△CDF≌△EBC，故②正确；

∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°-∠CDA）=300°-∠CDA，
∠FDC=360°-∠FDA-∠ADC=300°-∠CDA，
∴∠CDF=∠EAF，故③正确；
同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，
∵BC=AD=AF，BE=AE，
∴△EAF≌△EBC，
∴∠AEF=∠BEC，
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，
∴∠FEC=60°，
∵CF=CE，
∴△ECF是等边三角形，故④正确；
正确的有②③④，
故答案为：②③④．

点评 本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．