Question

7．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线．
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°时，求∠BPC的度数．
（2）当∠A=80°时，求∠BPC的度数．
（3）当∠A=x时，用含x代数式表示∠BPC的度数．

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线的性质得出∠PBC与∠PCB的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先根据∠A=80°求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；
（3）根据∠A=x求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=80°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-30°-20°=130°；

（2）∵在△ABC中，∠A=80°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°，
∴∠BPC=180°-50°=130°；

（3）在△ABC中，∠A=x，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-x）=90°-$\frac{1}{2}$x，
∴∠BPC=180°-（90°-x）=90°+$\frac{1}{2}$x．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．